若A，B，C，满足A²+B²+C²=9，求代数式(A-B)²+(B-C)²+(C-A)²的最大值。。。

若A，B，C，满足A²+B²+C²=9，求代数式(A-B)²+(B-C)²+(C-A)²的最大值。。。

(A-B)²+(B-C)²+(C-A)²
=A²-2AB+B²+B²-2BC+C²+C²-2AC+A²
=2(A²+B²+C²)-(2AB+2AC+2BC)
因为2AB+2BC+2AC=(A+B+C)²-(A²+B²+C²)
所以原式=3(A²+B²+C²)-(A+B+C)²
所以当A+B+C=0时取到最大值为27

解：展开，得 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 =2(a^2+b^2+c^2)-(2ab+2bc+2ca) =2(a^2+b^2+c^2)-[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)] =3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2 =27-(a+b+c)^2 要使上式取得最大值，就要使(a+b+c)^2最小，但(a+b+c)^2≥0，最小为0，所以 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≤27 最大值为27。 注：最大值当a+b+c=0时取得。

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