在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）-

在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），则实数a的取值范围为______．

不妨设x1＞x2，则x1-x2＞0，
∵f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），
∴
f(x1)?f(x2)
x1?x2 ≥4，
∵f（x）=alnx+（x+1）2，（x＞0）
∴f′（x）=
a
x +2（x+1）
∴
a
x +2（x+1）≥4，
∴a≥-2x2+2x
∵-2x2+2x=-2（x-
1
2 ）2+
1
2 ≤
1
2
∴a≥
1
2 ，
故答案为：a≥
1
2

已知函数f（x）=x2+alnx，若对任意两个不等的正数x1，x2（x1＞x2），都有f（x1）-f（x2）＞2（x1-x2）成立，则实数a的取值范围是（ ） 函数单调性的性质． 先确定g（x）=f（x）-2x=x2+alnx-2x在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得a≥-2x2+2x恒成立，即a≥（-2x2+2x）max，即可求出实数a的取值范围． ∵f（x1）-f（x2）＞2（x1-x2）， ∴f（x1）-2x1＞f（x2）-2x2， 即g（x）=f（x）-2x=x2+alnx-2x在（0，+∞）上单增， 即g′(x)＝2x+ a x −2≥0恒成立， 也就是a≥-2x2+2x恒成立，∴a≥（-2x2+2x）max， ∴a≥ 1 2

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