填空题设f：N*→N*，f（x）是定义在正整数集上的增函数，且f（f（k））=3k，则

填空题 设f：N*→N*，f（x）是定义在正整数集上的增函数，且f（f（k））=3k，则f（2012）=________．

3849解析分析：对f（f（k））=3k取k=1，得f（f（1））=3，再通过讨论可得f（1）=2，进一步可得f（2）=3，f（3）=6=3f（1），f（6）=9=3f（2），f（9）=18=3f（3），…，猜测f（3k）=3f（k），并利用反证法加以证明．依此作为公式，算出f（2187）=37f（1）=4374，f（1944）=35f（8）=3645，结合f（k）的值域包括所有3的倍数，利用等差数列通项公式，算出：f（2012）=3645+（2012-1944）×3=3849．解答：∵f（f（k））=3k，∴取k=1，得f（f（1））=3，假设f（1）=1时，有f（f（1））=f（1）=1矛盾假设f（1）≥3，因为函数是正整数集上的增函数，得f（f（1））≥f（3）＞f（1）≥3矛盾由以上的分析可得：f（1）=2，代入f（f（1））=3，得f（2）=3，可得f（3）=f（f（2））=3×2=6，f（6）=f（f（3））=3×3=9，f（9）=f（f（6））=3×6=18由f（f（k））=3k，取k=4和5，得f（f（4））=12，f（f（5））=15，∵在f（6）和f（9）之间只有f（7）和f（8），且f（4）＜f（5），∴f（4）=7，f（7）=12，f（8）=15，f（5）=8，由f（x）是增函数可得f（x）的反函数f-1（x）也是增函数下证f（3k）=3f（k），且f-1（3k）=3f-1（k），①若f（3k）＜3f（k），则f-1（3k）＜3f-1（k），∵满足f（n）=k的n必定满足n＜k，即f-1（k）＜k，得f-1（3k）＜3k∴3f-1（3k）＜9k=f（f（3k））＜f（3f（k）），得3f（k）＞3f-1（3k），矛盾②若f（3k）＞3f（k），则类似①的证法可得3f（k）＜3f-1（3k），矛盾综上所述，得f（3k）=3f（k）且f-1（3k）=3f-1（k）∴f（2187）=f（3×729）=3f（729）=32f（243）=33f（81）=34f（27）=35f（9）=36f（3）=37f（1）=4374，同理f（1944）=35×f（8）=243×15=3645又∵f（f（k））=3k，∴f（k）的值域包括所有3的倍数．∵1944到2187间有242个数，3645到4374之间有242个三的倍数，∴1944到2187之间全部值都是3的倍数由此可得：f（2012）=3645+（2012-1944）×3=3849点评：本题给出抽象函数，求f（2012）的值，着重考查了函数的单调性、抽象函数与整数讨论等知识，属于中档题．

就是这个解释

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