已知x0,x0+π/2是函数f(x)=cos^2(ωx-π/6)-sin^2ωx(ω>0)的两个相邻的零点.问1

已知x0,x0+π/2是函数f(x)=cos^2(ωx-π/6)-sin^2ωx(ω>0)的两个相邻的零点。问1，求f(π/12)的值。2，若对x∈[-π/6,π]/8,都有|f(x)|≦m,求实数m的取值范围

f(x)=cos ^2(ωx-π/6)-sin ^2ωx(ω>0)
化简得到f（x）=[1+cos（2wx-π/3）]/2-（1-cos2wx）/2=[1.5cos2wx+√3/2sin2wx]/2
=√3/2sin（2wx+π/3）
而xo,xo+π/2是函数的两个相邻的两个零点
所以π/2=T/2 得到T=π
所以2w=2π/T=2
所以f（x）=√3/2sin（2x+π/3）
所以f（π/12）=√3/2
(2)-Pai/6<=x<=Pai/8
那么有0<=2x+Pai/3<=7Pai/12
故有0<=sin(2x+Pai/3)<=1
即有0<=f(x)<=根号3/2
都有|f(x)|<=m,则有m的范围是m>=根号3/2.

（1）f（x）= 1+cos(2ωx? π 3 ) 2 ? 1?cos2ωx 2 = 1 2 [cos(2ωx? π 3 )+cos2ωx] = 1 2 [( 1 2 cos2ωx+ 3 2 sin2ωx)+cos2ωx]= 1 2 ( 3 2 sin2ωx+ 3 2 cos2ωx) = 3 2 （ 1 2 sin2ωx+ 3 2 cos2ωx）= 3 2 sin(2ωx+ π 3 )． 由题意可知，f（x）的最小正周期t=π， ∴ 2π |2ω| ＝π， 又∵ω＞0，∴ω=1，∴f（x）= 3 2 sin(2x+ π 3 )． ∴f( π 12 )= 3 2 sin(2× π 12 + π 3 )＝ 3 2 sin π 2 ＝ 3 2 ． （2）|f（x）-m|≤1，?f（x）-1≤m≤f（x）+1， ∵对?x∈[? 7π 12 ，0]，都有|f（x）-m|≤1， ∴m≥f（x）max-1且m≤f（x）min+1， ∵- 7π 12 ≤x≤0，∴? 5π 6 ≤2x+ π 3 ≤ π 3 ，∴?1≤sin(2x+ π 3 )≤ 3 2 ， ∴- 3 2 ≤ 3 2 sin(2x+ π 3 )≤ 3 4 ， 即f（x）max= 3 4 ，f（x）min=? 3 2 ， ∴- 1 4 ≤m≤1? 3 2 ．

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