函数y=x²+x+1÷(x+1)的值域

函数y=x²+x+1÷(x+1)的值域

y=x²-1/x

首先给出了定义域然后求出了值域
x^2在x∈（0,1】上单调递增的，
1/x在x∈（0,1】上单调递减的
-1/x在x∈（0,1】上单调递增的
所以x²-1/x在x∈（0,1】上单调递增的
先求最小值，当x=0时，x^2=0，-1/x趋向于负无穷大。所以当x=0时，x^2-1/x趋向于负无穷大
当x=1时，y=x²-1/x=0.
最后答案就是(-∞,0]

解：方法一y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）∵y=2-3x/（x²+x+1）∵y=2-3/（x+1/x+1）此时分情况：①x＞0时∵x+1/x≥2√x×1/x=2∴3/（x+1/x+1）≤3/（2+1）=1∴-3/（x+1/x+1）≥-3/（2+1）=-1∴y≥2-3/（2+1）=2-1=1∵-3/（x+1/x+1）＜0∴y=2-3/（x+1/x+1）＜2此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）①x＞0时的值域为[1，2)②x=0时y=2/1=2此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）②x=0时的值域为[2]③x＜0时y=2-3/（x+1/x+1）y=2+3/[-x+（-1/x）-1]∵-x+（-1/x）≥2√-x×（-1/x）=2∴3/[-x+（-1/x）-1]≤3/（2-1）=3∴y≤2+3/（2-1）=2+3=5∵3/[-x+（-1/x）-1]＞0∴y=2+3/[-x+（-1/x）-1]＞2此时函数在y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）③x＜0时的值域为(2，5]综合①②③几种情况得：函数在y=（2x2-x+2）/（x2+x+1）实数范围内的值域为[1，5]方法二y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）y（x²+x+1）=（2x²-x+2）yx²+yx+y=2x²-x+2(2-y)x²-(y+1)x+2-y=0此时分情况考虑：①2-y=0，y=2，x=0②2-y≠0要使方程有解，△=(y+1)^2-4(2-y)^2≥0整理得：3y^2-18y+15≤0函数值域为1≤y≤5（包含y=2）即函数在y=（2x2-x+2）/（x2+x+1）实数范围内的值域为[1，5]

用判别式法x²－2x＋2=y(x²－x＋1),(y-1)x²-(y-2)x+y-2=0,y=1时x=1，y不等于1是，判别式=(y-2）^2-(y-2)(y-1)>=0,y<=2

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