一道关于韦达定理问题(奥数)

试求出某些正整数a,n,m满足X+Y=a的n次方
X平方+Y平方=a的m次方
的所有正整数对(X,Y)

^ 表示 次方

2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=a^(2n)-a^m

(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=a^m-(a^(2n)-a^m)=2a^m-a^(2n)

由于x，y为正整数

∴(x-y)^2=2a^m-a^(2n)≥0

2xy=a^(2n)-a^m>0

∴2≥a^(2n-m)>1

a=1不成立

a=2时2n-m=1

a≥3时不成立

∴(x-y)^2=2a^m-a^(2n)=2^(m+1)-2^(2n)=0

x=y

∴2x=2^n

∴x=y=2^(n-1)

m=2n-1

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