已知抛物线C：y 2=4x的准线与x轴交于M点，F为抛物线C的焦点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点

已知抛物线C：y 2=4x的准线与x轴交于M点，F为抛物线C的焦点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．（Ⅰ）若|AM|=54|AF|，求k的值；（Ⅱ）是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x0，y0）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

（I）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，
由抛物线的定义知|AM|=
5
4 d，
∴cosα=±
d
|AM| =±
4
5 ，
∴k=tanα=±
3
4 ．
（2）设点Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由







y2＝4x
y＝k(x+1) 得ky2-4y+4k=0，
由







k≠0
16?16k2＞0 得-1＜k＜1且k≠0，
kQA=
y0?y1
x0?x1 =
y0?y1


y 2
0

4 ?

y 2
1

4 =
4
y0+y1 ，同理kQB=
4
y0+y2 ，
由QA⊥QB得
4
y0+y1 ?
4
y0+y2 =-1．
即：
y 2
0
+y0(y1+y2)+y1y2=-16，
∴
y 2
0
+
4
k y0+20=0，
△=(
4
k )2-80≥0，
得?




5
5 ≤k≤




5
5 且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范围为[?




5
5 ，0)∪(0，




5
5 ]．

存在. 直线l:y=k(x+1) (k≠0) 联立y=k(x+1) ,y²=4x.消去x得.y²-4y/k+4=0 δ=16/k²-16>0.解得k²<1且k≠0 由韦达定理:y1+y2=4/k. y1y2=4 设a(y1²/4,y1) b(y2²/4,y2) q(y²/4,y) 向量qa=[(y1²-y²)/4,y1-y).向量qb=[(y2²-y²)/4,y2-y] 因为qa⊥qb. 所以(y1²-y²)(y2²-y²)/16+(y1-y)(y2-y)=0 <=>(y1-y)(y2-y)[1+(y1+y)(y2+y)/16]=0 因为y≠y1,y≠y2 所以1+(y1+y)(y2+y)/16=0 整理得:y²+4y/k+20=0 δ=16/k²-80≥0.解得k²≤1/5 故k的取值范围是[-√5/5,0)∪(0,√5/5]

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