如图1，正方形ABCD和正方形BEFC 操作：M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DM⊥MN，交对角线BF于点N。 探究：线段DM和MN之间的关系，并加以证明
- 提问者网友：嗝是迷路的屁
- 2021-06-04 22:04
- 五星知识达人网友：我住北渡口
- 2021-06-04 22:43
- 1楼网友：神也偏爱
- 2021-06-04 23:18
思路1：要证明DM＝MN，可以考虑证明DM、MN各自所在的两个三角形全等，而图中MN在钝角△MBN中，DM在直角三角形中，故需要构造一个钝角三角形。于是有下列解法1。 解法1 猜想DM＝MN，证明如下： 如图3，在AD边上截取AH＝AM，由正方形ABCD和BECF可得。 AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBF＝45°， 则DH＝MB， ∠DHM＝∠MBN＝135°。 ∵DM⊥MN，∴∠AMD＋∠1＝90°， 又∵∠AMD＋∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴△DHM≌△MBN，∴DM＝MN。
思路2：同上分析，也可构造MN所在的一个直角三角形与DM所在Rt△ADM全等。于是有下面的解法2。 解法2 猜想DM＝MN，证明如下： 如图4，过N作NG⊥BE，垂足为G。 则∠MGN＝∠A＝90°。 ∵DM⊥MN，∴∠AMD＋∠1＝90°。 又∵∠AMD＋∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴Rt△ADM∽Rt△GMN， ∴ ＝ 设AD＝a，BM＝x,NG＝y， 由∠NBG＝45°，则BG＝NG＝y（a>x）。 ∴ ＝ ＝ ＝1， ∴a＝x＋y,即AD＝MG。 ∴△DHM≌△MBN，∴DM＝MN。 （若a＝x，DM＝AD，MN＝AB，则DM＝MN仍然成立。） 思路3：要证明DM＝MN，还可构造一个以此为两腰的等腰三角形，则结论得证。而直接连接DN，不易证明，考虑将问题转化为证明DM与MN都等于第三条线段。于是有解法3。 解法3 猜想DM＝MN，证明如下： 如图5，作△MBN关于直线AE的轴对称图形△MBP，连结DB交于MN于G点，则有： △MBN≌△MBP，∠2＝∠1＝45°， ∠P＝∠MNB，MN＝MP。 由正方形ABCD和BEFC，则 ∠MBN＝∠DBC＋∠CBN＝45°＋45°＝90°， ∴∠DBP＝∠DBN＋∠1＋∠2＝180° ∴D、B、P三点在同一直线上。 又∵DM⊥MN，∠DGM＝∠NGB， ∴∠3＝∠MNB，∴∠3＝∠P， ∴DM＝MP，∴DM＝MN。