已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，12）上无零点，求a的最小值．...

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．a∈R（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，12）上无零点，求a的最小值．

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，
则f′(x)＝1?
2
x ，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，
1
2 ）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，
1
2 ）上无零点，只要对任意的x∈（0，
1
2 ），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，
1
2 ），a＞2-
2lnx
x?1 恒成立．
令l′(x)＝2?
2lnx
x?1 ，x∈（0，
1
2 ），
则l′(x)＝?

2
x (x?1)?2lnx
(x?1)2 ＝
2lnx+
2
lnx ?2
(x?1)2 ，
再令m(x)＝2lnx+
2
x ?2，x∈（0，
1
2 ），则m′(x)＝?
2
x2 +
2
x ＝
?2(1?x)
x2 ＜0，
故m（x）在（0，
1
2 ）上为减函数，于是m（x）＞m(
1
2 )＝2?2ln2＞0，
从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，
1
2 ）上为增函数，
所以l（x）＜l(
1
2 )＝2?4ln2，
故要使a＞2-
2lnx
x?1 恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在（0，
1
2 ）上无零点，则a的最小值为2-4ln2．

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