求证：1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)<=3/2
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解决时间 2021-08-23 20:57
- 提问者网友：疯子也有疯子的情调
- 2021-08-23 13:27
条件是a+b+c=3
最佳答案
- 五星知识达人网友：撞了怀
- 2021-08-23 14:31
利用调和平均小于等于算术平均: 3/(1/x+1/y+1/z)<=(x+y+z)/3
在上述公式中取x=a+b y=b+c z=c+a
则3/(1/(a+b)+1/(a+b)+1/(c+a))<=(a+b+b+c+c+a)/3
即3/(1/(a+b)+1/(a+b)+1/(c+a))<=6/3
即3/(1/(a+b)+1/(a+b)+1/(c+a))<=6/3
即1/(a+b)+1/(a+b)+1/(c+a)>=3/2
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- 1楼网友：煞尾
- 2021-08-23 17:19
因为[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)][(a+b)+(b+c)+(a+c)]<=3的平方
又因为a+b+c=3
所以得证
- 2楼网友：思契十里
- 2021-08-23 16:29
先通分！然后你就看到特点！
- 3楼网友：持酒劝斜阳
- 2021-08-23 15:32
由a+b+c=3
则1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)<=3/2
化为1/(3-c)+1/(3-a)+1/(3-b)≤3/2
下面证明1/（3-x)≤-1/4x+3/4①
很简单，同乘以分母并移向项得
1/4（c-3)²≥0显然成立
故①得证
从而1/(3-c)≤-1/4c+3/4
1/(3-a)≤-1/4a+3/4
1/(3-b)≤-1/4b+3/4
三式相加得
1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)<=-1/4（a+b+c)+9/4=-3/4+9/4=3/2
命题得证
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