圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法

圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法

证明：∠
∠bod=∠ocb+∠obc
∴∠aob=∠aod+∠bod=∠aco+∠cao+∠ocb+∠obc
=2∠aco+2∠ocb
=
2（∠aco+∠ocb）
=2∠acb
即同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明： 情况1：，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： ∵OA、OC是半径 ∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOC是△OAC的外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2：，当圆心O在∠BAC的内部时： 连接AO，并延长AO交⊙O于D ∵OA、OB、OC是半径 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3：，当圆心O在∠BAC的外部时： 连接AO，并延长AO交⊙O于D ∵OA、OB、OC、是半径 ∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC） ∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD ∵∠BAC=∠CAD-∠BAD ∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

证明：∠aod=∠aco+∠cao ∠bod=∠ocb+∠obc ∴∠aob=∠aod+∠bod=∠aco+∠cao+∠ocb+∠obc =2∠aco+2∠ocb = 2（∠aco+∠ocb） =2∠acb 即同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍

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