已知函数 f(x)= -x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2

已知函数 f(x)= -x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2 ) （x∈R），（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m 2 +2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：函数y=（m 2 -1） x 是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

（Ⅰ）因为函数已知函数 f(x)=






-x-1(x＜-2)
x+3(-2≤x≤
1
2 )
5x+1(x＞
1
2 ) （x∈R），
当x＜-2时，f（x）∈（1，+∞）；当 -2≤x≤
1
2 时，f（x） ∈[1，
7
2 ] ；当x＞
1
2 时，f（x）∈ (
7
2 ，+∞)
所以函数的值域为[1，+∞），最小值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m 2 +2m-2≤1，
即m 2 +2m-3≤0，解得-3≤m≤1，
所以命题p：-3≤m≤1．
对于命题q，函数y=（m 2 -1） x 是增函数，则m 2 -1＞1，即m 2 ＞2，
所以命题q： m＜-


2 或 m＞


2
由“p或q”为真，“p且q”为假可知有以下两个情形：
若p真q假，则






-3≤m≤1
-


2 ≤m≤


2 解得： -


2 ≤m≤1 ，
若p假q真，则






m＜-3或m＞1
m＜-


2 或m＞


2 解得：m＜-3，或m＞


2 ．
故实数m的取值范围是 (-∞，-3)∪[-


2 ，1]∪(


2 ，+∞) ．

1、∵2^x+1＞0恒成立

∴其定义域为r

f（x）=(2^x-1)/(2^x+1)

=(2^x+1-2)/(2^x+1)

=1-2/(2^x+1)

∵2^x+1＞1

∴0＜2/(2^x+1)＜2

∴-2＜-2/(2^x+1)＜0

∴-1＜1-2/(2^x+1)＜1

即-1＜y＜1

即y的值域为（-1，1）

2、f（-x）=（2^-x-1)/(2^-x+1)

=(1-e^x)/(1+e^x)

=-f(x)

∴f（x）为奇函数

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