a^2+b^2+c^2=1比较a+b+c和√3的大小
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解决时间 2021-02-06 02:35
- 提问者网友：辞取
- 2021-02-05 20:18
a^2+b^2+c^2=1比较a+b+c和√3的大小
最佳答案
- 五星知识达人网友：摆渡翁
- 2021-02-05 21:32
1=a^2+b^2+c^2>=1/3(a+b+c)^2
即 (a+b+c)^2<=3, 则 a+b+c <= √3
证明：a、b、c∈R
因a^2+b^2>=2ab
因a^2+c^2>=2ac
因b^2+c^2>=2bc
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^4
=[(a²+b²+c²)+(a²+b²)+(b²+c²)+(c²+a²)](a+b+c)^4
≥(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca )=(a+b+c)^2
即
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^4≥(a+b+c)^2
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2
即 (a+b+c)^2<=3, 则 a+b+c <= √3
证明：a、b、c∈R
因a^2+b^2>=2ab
因a^2+c^2>=2ac
因b^2+c^2>=2bc
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^4
=[(a²+b²+c²)+(a²+b²)+(b²+c²)+(c²+a²)](a+b+c)^4
≥(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca )=(a+b+c)^2
即
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^4≥(a+b+c)^2
3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2
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