设平面图形由y=x2和y=2x所围成，

设平面图形由y=x2和y=2x所围成， 求：1、此平面图形的面积S 2、此图形绕x轴鸡单惯竿甙放轨虱憨僵旋转一周所成的立体的体积Vx 3、此图形绕y轴旋转一周所成的立体的体积Vy

1、此平面图形的面积S
y=x^2与y=2x的交点为(0,0),(2,4).
S=∫[0,2](2x-x^2)dx=4/3.

2、此图形绕x轴旋转一周所成的立体的体积Vx
Vx=∫[0，2]π(2x)^2dx-∫[0，2]π(x^2)^2dx
=∫[0，2]π(4x^2-x^4)dx=64π/15.

3、此图形绕y轴旋转一周所成的立体的体积Vy
Vy=∫[0,4]π(√y)^2dy-∫[0,4]π(y/2)^2dy
=∫[0,4]π(y-y^2/4)dy
=8π/3.

y=x与y=x^2交点(0,0),(1,1) y=2x与y=x^2交点(0,0),(2,4) s=∫(0,1)(2x-x)dx+∫(1,2)(2x-x^2)dx =(1/2)x^2 | (0,1) + (x^2-(1/3)x^3)|(1,2) =(1/2)+(4-8/3)-(1-1/3) =7/6

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