高数中值定理题目！设a>b>0,证明：n*b的(n-1)次方*(a-b)＜a的n次方-b的n次方＜n*a的（n-1)次方*(a-b)谢谢！谢谢！

高数中值定理题目！设a>b>0,证明：n*b的(n-1)次方*(a-b)＜a的n次方-b的n次方＜n*a的（n-1)次方*(a-b)谢谢！谢谢！

证明：设f(x)=x^n.

则f(x)在[b,a]上连续，在(a,b)内可导。

所以在(a,b)上用拉格朗日定理：[f(a)-f(b)]/(a-b)=f'(x).x属于(b,a)

即(a^n-b^n)/(a-b)=n.x^(n-1)(x属于(b,a))

有因为x属于(b,a)，

所以a^(n-1)<x^(n-1)<b^(n-1).

所以n.a^(n-1)<(a^n-b^n)/(a-b)=n.x^(n-1))<n.b^(n-1).

整理得：n.b^(n-1)(a-b)<a^n-b^n<n.a^(n-1)(a-b)

请楼主采纳，不明白可以继续追问。

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