已知z为复数，若关于x的方程x²＋zx＋4+3i=0有纯虚数根，求z的模的最小值

已知z为复数，若关于x的方程x²＋zx＋4+3i=0有纯虚数根，求z的模的最小值

z=a+bi
x^2＋zx＋4+3i=0
x^2＋(a+bi)x＋4+3i=0
设x(纯虚数根) =ci
(ci)^2＋(a+bi)(ci)＋4+3i=0
(-c^2-bc+4) + (ac+3)i = 0
=>
-c^2-bc+4 = 0 (1) and
ac+3 =0 (2)
sub (2) into (1)
-(-3/a)^2 -b(-3/a) +4 =0
-9/a^2 + 3b/a +4=0
4a^2 +3ab - 9 =0
b= (9 -4a^2)/(3a)
S= |z|^2
= a^2 +b^2
= a^2 + [(9 -4a^2)/(3a)]^2
=9a^4 + (9-4a^2)^2
= 25a^4 -72a^2 +81
= 25(a^2 - 36/25)^2 + 729/25
min S =729/25

min |z| =√(729/25) =27/5

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