矩阵A的平方等于单位矩阵，求证r(I+A)+r(I-A)=n
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解决时间 2021-03-29 20:39
- 提问者网友：暗中人
- 2021-03-29 08:36
矩阵A的平方等于单位矩阵，求证r(I+A)+r(I-A)=n
最佳答案
- 五星知识达人网友：行路难
- 2021-03-29 09:54
用E表示单位阵
由A^2=E，E-A^2=0，因此(E-A)(E+A)=0
因此(E+A)的列向量为方程(E-A)X=0的解向量，设r(E-A)=k，则(E-A)X=0的解空间为n-k维，
因此r(E+A)≤n-k，得：r(E-A)+r(E+A)≤n
又(E+A)+(E-A)=2E
则r(E+A)+r(E-A)≥r(2E)=n 矩阵秩的性质：r(A)+r(B)≥r(A+B)
综上，r(E+A)+r(E-A)=n
由A^2=E，E-A^2=0，因此(E-A)(E+A)=0
因此(E+A)的列向量为方程(E-A)X=0的解向量，设r(E-A)=k，则(E-A)X=0的解空间为n-k维，
因此r(E+A)≤n-k，得：r(E-A)+r(E+A)≤n
又(E+A)+(E-A)=2E
则r(E+A)+r(E-A)≥r(2E)=n 矩阵秩的性质：r(A)+r(B)≥r(A+B)
综上，r(E+A)+r(E-A)=n
全部回答
- 1楼网友：woshuo
- 2021-03-29 10:05
因为 A^2=E
所以 (A+E)(A-E)=0
所以 r(A+E)+r(A-E)<=n
而 r(A+E)+r(A-E) >= r(A+E -A+E)=r(2E)=n
所以 r(A+E)+r(A-E) = n.
所以 (A+E)(A-E)=0
所以 r(A+E)+r(A-E)<=n
而 r(A+E)+r(A-E) >= r(A+E -A+E)=r(2E)=n
所以 r(A+E)+r(A-E) = n.
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