给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x 0 ，都有函数值f（x 0 ）∈D，称函数y=f（x）在D

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x 0 ，都有函数值f（x 0 ）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D 1 =（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D 1 上封闭，并说明理由；
（2）若定义域D 2 =（1，5]，是否存在实数a，使得函数 f(x)=
5x-a
x+2 在D 2 上封闭？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）利用（2）中函数，构造一个数列{x n }，方法如下：对于给定的定义域D 2 =（1，5]中的x 1 ，令x 2 =f（x 1 ），x 3 =f（x 2 ），…，x n =f（x n-1 ），…在上述构造数列的过程中，如果x i （i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x i 不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{x n }，求实数a的取值范围．
②如果取定义域中任一值作为x 1 ，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x n }，求实数a的取值范围．

（1）对于定义域D内的任意一个自变量x 0 ，都有函数值g（x 0 ）∈（-1，1）?D 1 ，
故函数g（x）=2x-1在D 1 上不封闭；
（2）若存在，则 f(x)=
5x-a
x+2 =5-
10+a
x+2 ，
∵定义域D 2 =（1，5]，∴ (
5-a
3 ，
25-a
7 ] ∈（1，5]，
∴-10≤a≤-2
（3）①根据题意，只需当x≠-2时，方程f（x）=x有解，方程x 2 -3x+a=0有不等于2的解．
将x=-2代入方程，得a=-10，由此可得a的取值范围是（-∞，-10）∪（-10，+∞）．
②根据题意， f(x)=
5x-a
x+2 =a在R中无解，
亦即当x≠-2时，方程（5-a）x=3a无实数解．
∴a=5即为所求a的值．

当定义域d=（0，1）时，显然①f 1 （x）=4x-1?d，不是封闭函数； 对于②，f 2 （x）=- 1 2 x 2 - 1 2 x+1=- 1 2 (x+ 1 2 ) 2 + 9 8 ， ∵0＜x＜1， ∴f 2 （x）在（0，1）上单调递减； ∴f 2 （x 0 ）∈（0，1]=d，即②是封闭函数； 对于③，当定义域d=（0，1）时，f 3 （x）=x+ 1 x ∈（2，+∞），显然不是封闭函数； 对于④，当定义域d=（0，1）时，f 4 （x）= x 1 2 ∈（0，1）=d，即④是封闭函数； 综上所述，②④是封闭函数． 故选d．

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