|向量OA-OB|,那么实数m的取值范围

|向量OA-OB|,那么实数m的取值范围

∵A、B都在直线x＋y＋m＝0上,即在y＝－x－m上.∴可设点A、B的坐标分别是（a,－a--m）、（b,－b－m）.∴向量OA＝（a,－a--m）、向量OB＝（b,－b－m）,∴向量OA＋向量OB＝（a＋b,－a－b－2m）、向量OA－向量OB＝（a－b,b－a）,∴｜向量OA＋向量OB｜＝√［（a＋b）^2＋（a＋b＋2m）^2］,　｜向量OA－向量OB｜＝√［（a－b）^2＋（b－a）^2］＝√2｜a－b｜.∴依题意,有：√［（a＋b）^2＋（a＋b＋2m）^2］＞√2｜a－b｜.两边平方,得：（a＋b）^2＋（a＋b＋2m）^2＞2（a－b）^2＝2（a＋b）^2＋4ab,∴（a＋b＋2m）^2＞（a＋b）^2＋4ab.联立：y＝－x－m、x^2＋y^2＝2,消去y,得：x^2＋（x＋m）^2＝2,∴2x^2＋2mx＋m^2－2＝0.显然,a、b是方程2x^2＋2mx＋m^2－2＝0的两根,∴由韦达定理,有：a＋b＝－m、ab＝（m^2－2）/2.将a＋b＝－m、ab＝（m^2－2）/2 代入到（a＋b＋2m）^2＞（a＋b）^2＋4ab中,得：（－m＋2m）^2＞（－m）^2＋2（m^2－2）,∴m^2－2＜0,∴m^2＜2,∴－√2＜m＜√2.∴满足条件的m的取值范围是（－√2,√2）.

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