高中数学题目4

已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，︱PQ︱=√10/2,求椭圆的方程。

x²/a²+y²/b²=1,y=x+1,联立得

(a²+b²)x²+2a²x+a²-a²b²=0,x1+x2=...,x1x2=...,y1y2=(x1+1)(x2+1)=...,y1+y2=x1+x2+2=...,

x1x2+y1y2=0,得a²+b²=2a²b²;x1²+y1²+x2²+y2²=PQ²=5/2,即(x1+x2)²+(y1+y2)²=5/2,得a²+b²=19/8,

∴a²b²=19/16,∴a²,b²为方程 16t²-38t+19=0的两根,t=(19±4√2)/16,可交换得两椭圆方程.

我的运算可能有错,你自己仔细做,思路就这样.

设椭圆的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1,y=x+1与它的交点是

b^2x^2+a^2(x+1)^2=a^2b^2

(a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2(1-b^2)=0

设x1，x2是方程的两个根，则有x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2) x1x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)

OP⊥OQ，︱PQ︱=√10/2,OP^2+OQ^2=5/2 y1/x1*y2/x2=-1 y1y2=-x1x2 2x1x2+x1+x2+1=0

-2a^2/(a^2+b^2) +2a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)+1=0

-2a^2b^2+a^2+b^2=0 a^2+b^2=2a^2b^2

x1+x2=-1/b^2 x1x2=(1-b^2)/2b^2

OP^2=x1^2+y1^2 OQ^2=x1^2+y1^2

OP^2+OQ^2=x1^2+x2^2+y1^2+y2^2=(x1+x2)^2-2x1x2+(y1+y2)^2-2y1y2

=(x1+x2)^2+(x1+x2+2)^2=1/b^4+(2-1/b^2)^2=5/2

2/b^4-4/b^2+3/2=0

3b^4-8b^2+4=0

(3b^2-2)(b^2-2)=0

b^2=2/3,b^2=2

a^2=2,a^2=2/3

所以方程是x^2/2+3y^2/2=1或3x^2/2+y^2/2=1

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