一个多项式的证明题：设整系数多项式f(x)对无限个整数值x的函数值都是素数,则 f(x)在有理数域上不可约.
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解决时间 2021-05-23 16:36
- 提问者网友：星軌
- 2021-05-23 06:28
一个多项式的证明题：设整系数多项式f(x)对无限个整数值x的函数值都是素数,则 f(x)在有理数域上不可约.
最佳答案
- 五星知识达人网友：走死在岁月里
- 2021-05-23 07:52
反证法.
假设f(x)在有理数上可约,设f(x)=g(x)*h(x)
其中g(x),h(x)都是有理数系数的多项式
使f(x)为素数的x值中,g(x)与h(x)至少有一个为1或-1,否则f(x)为合数了.
又因为n次方程至多只有n个根,
所以使g(x)=1或-1,或使h(x)=1或-1的x值必为有限个.
这与条件：存在无穷个x使f(x)为素数矛盾
所以得证.
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