高中数学最值问题

直线ax+by=ab经过A(cosa,sina),其中a€R则1/a^2+1/b^2的最小值是

解：把点A(cosa,sina) 坐标代入直线方程
    acosA+bsinA=ab  ①

    ①式右边化为正弦形型函数

    √(a²+b²)  sin(A+α)=ab    [设 sinα  =  a/√(a²+b²)   ]

    sin(A+α)= ab/√(a²+b²)

    ∵ |sin(A+α)| ≤1
    即|ab/√(a²+b²)|≤1 

    ∴ |√(a²+b²)/ab|≥1  ②
    ② 式两边平方整理得

    1/a^2+1/b^2≥1

    ∴   （1/a^2+1/b^2）最小值 =1

    希望对你有所帮助    ^_^

化简S=1+[(ba)^2-ba]\[(1+b)(1+a)] 令x=1+a S(x)=1+1\(1+b)*[b^2x+(b^2+b)\x-2b^2-b](1)考虑y=b^2x+(b^2+b)\x x=[(b+1)\b]^(1\2)取最小值 又1≤x≤2 ，x0= [(b+1)\b]^(1\2)>1 当x0≤2 b≥1\3 x=x0时取最小值 即1+a=[(b+1)\b]^(1\2) 由对称知1+b=[(a+1)\a]^(1\2) 时取最小值，此时的条件是 a≥1\3 解之：a=b=[5^(1\2)-1]\2>1\3 且[5^(1\2)-1]\2<1 因此满足条件 则Smin=[13-5*5^(1\2)]\2当x0>2 b <1\3 x=2时取最小值 S=1+1\(1+b)*(b^2-b)\2 b=2^(1\2)-1取最小值Smin'=2^(1\2)-1\2>[13-5*5^(1\2)]\2 因此a=b=[5^(1\2)-1]时Smin=[13-5*5^(1\2)]\2(2)x=1或2时取最大值 S(1)=1 S(2)=1+1\(1+b)*(b^2-b)\2≤1 所以 a=0,b∈[0,1] 或 b=0,a∈[0,1] 时最大值Smax=1

将M点坐标代入直线方程 acosA+bsinA=ab     (tanα=b/a  t=(a^2+b^2)^(1/2) sin(A+α)=ab/t sin函数的绝对值小于等1 所以 |ab/t|≤1  即|t/ab|≥1 化简得（1/a^2+1/b^2）≥1

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