超难的不等式证明（重悬）

超难的不等式证明（重悬）

这道题确实难，楼上的朋友们，好像你们中间的一个符号反了吧，我请教老师也做不出来，所以只能用高等数学的方法
用拉各朗日数乘法，这个方法你可能不知道，这是高等数学的解法，只是供你参考:
设f(a.b.c)=a+b+c-1,数乘因子为s，
令g(a.b.c)=b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)得到拉各朗日函数l(a.b.c)=g(a.b.c)+s*f(a.b.c)，然后分别对
l(a.b.c)进行求偏导数得以下几个式子：
1/c-b/(a*a)+24(b+c)+s=0
1/a-c/(b*b)+24(a+c)+s=0
1/b-a/(c*c)+24(a+b)+s=0
还加上本身自己就有的方程a+b+c=1
联合上述的式子（上式是很对称的）得a=b=c=1/3；
把a,b,c带入g(a.b.c)中就是它的最小值11，至于为什么是最小值那是高等数学才能说得清楚的问题，我就不细说
了，顺便说一下，对某个变量求偏导就是其它变量看作常量，只对这一个变量求导数比如f(a.b)=2a+b,对a求偏导就是把b看成常数即是偏倒数为2，对b的偏倒数为1

我不给你说做法,你自己做对你有好处,你先自学一下柯西不等式,然后再来做.

已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,则
(a-b)^2≥0......(1)
(b-c)^2≥0......(2)
(c-a)^2≥0......(3)
(1)+(2)+(3),得
[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
1*(1/2)*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
(a+b+c)*(1/2)*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
上不等式整理化简,得
a^3+b^3+c^3-3abc≥0
a^3+b^3+c^3≥3abc
同理
[(b/a)^(1/3)]^3+[(c/b)^(1/3)]^3+[(a/c)^(1/3)]^3
≥3*[(b/a)*(c/b)*(a/c)]^(1/3)=3
又a+b=定值时,ab的值最大
同理a+b+c=定值时,当a=b=c,abc的值最大
已知a+b+c=1,故当a=b=c=1/3时,abc最大=1/27
因ab+bc+ca≥3*[(abc)^2]^(1/3)
3*[(abc)^2]^(1/3)的最大值=3*[(1/27)^2]^(1/3)=1/3
24(ab+bc+ca)≥24*1/3=8
故b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥3+8=11
即b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11

b^2c+a^2b+c^2a>=3*3次根号下(a^3b^3c^3)=3*(abc)[算术平均值>=几何平均值]
所以b/a+c/b+a/c=(b^2c+a^2b+c^2a)/(abc)>=3*(abc)/(abc)=3 (1)
因为ab+bc+ca>=3*3次根号下(a^2b^2c^2)>=1/3 [算术平均值>=几何平均值]
所以24(ab+bc+ca)>=24*1/3=8 (2)
根据(1)(2)
b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11

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