若f（x）的图像是中心对称的，定义域是R,那么其对称中心一定在函数图像上吗？ 求证明～

若f（x）的图像是中心对称的，定义域是R,那么其对称中心一定在函数图像上吗？ 求证明～

不妨设y=f(x)满足：对任意的x有f(-x)=b-f(x+a)，则它的对称中心为（a/2, b/2)
在原式中令x=-a/2,则f(a/2)=b-f(a/2) , f(a/2)=b/2.
即(a/2,b/2)在函数图像上。

证明：设对称中心为（a，b），图像过点（ a，f（a））
因为f（x）的图像关于 （a，b）对称，
所以点（ a，f（a））关于（a，b）对称点 （ a，2b - f（a））也在函数图像上，
所以由函数定义，点（ a，f（a））与（ a，2b - f（a））重合，
所以f（a）= 2b - f（a），即 f（a）= b
对称中心为（a，b）在函数图像上

反正法：
假设f（x）存在一个对称中心不在函数图像上
记这个对称中心为（a，b）
将f（x）经过向量（-a，-b）平移得到函数g（x）
明显的，一方面有g（x）是定义域为R的中心对称函数，并满足以（0,0）为对称中心
且（0,0）不在g（x）的函数图像上
另一方面，以原点为对称中心的中心对称函数就是奇函数
而奇函数满足g（-x）=-g（x）
于是g（-0）=-g（0） 得到g（0）=0
即（0,0）在g（x）函数图像上
得到矛盾

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