设a为质数，b为正整数，且9(2a+b)(2)=509(4a+511b),求a,b值.

解题方法: 、
509是质数,2a+b为509的整数倍,设2a+b=509K（K为整数）
代入,得:9KK*509*509=509(509b+2*509k)
9KK=b+2K=509K-2a+2K
2a=(511-9K)k
因为a是质数，所以K=1或511-9K=1（K不等于整数，排除）或K=2(a=493=17*29,非质数,排除)或511-9K=2(K非整数,排除)
所以K=1,a=251,b=509-2*251=7

我有几处不懂
2a=(511-9K)k
为什么因为a是质数所以k=2或（511-9k）=2 或k=1 或（511-9k）=1

详细点！！！！！！！！

怎么验证"当3≤x≤56时，a一定是个合数",只用写观察上式?........
还有不用说(511-9x)=1或=2吗?

不难验证，509是一个质数，因此2a+b必能被509整除，不妨设
2a+b=509x (x≥1)
则有，9×(509x)^2=509×(4a+2b+509b)
9×509×x^2=2×509x+509b
9×x^2=2x+b
b=x(9x-2)
把b代入2a+b=509x ，得
2a+x(9x-2)=509x
即 a=x(511-9x)/2 ，【注：由511-9x>0知，x最大只能取到56】
观察上式，当3≤x≤56时，a一定是个合数，所以x只能取2或1
当x取2时，a=493=17×29，仍是合数，舍弃。
当x=1时，a=(511-9×1)/2=251,经验证251是质数
进而求得b=1×(9×1-2)=7
这是更详细的解法。

解：（1）式即(63509ab) 2 =4511509ab，设m =63509ab，n =4511509ab，则n = m 2， b =50963ma=5094511na （2），故3 n – 511 m + 6 a = 0，所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （3），由（1）式可知，( 2 a + b ) 2能被质数509整除，于是2 a + b能被509整除，故m为整数， 即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数。 不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（t为自然数），则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t )， 由于511 + t和511 – t的奇偶性相同，且511 + t ≥ 511，所以只可能有以下几种情况： ①511365112tat，②5

首先将9（2a+b）2=509（4a+511b）变形为 4a+511b509= 4a+511b509，此时假设m= 6a+3b509，n= 4a+511b509，则可得到b= 509m-6a3= 509n-4a511与n=m2．因而可转化为关于m的一元二次方程3m2-511m+6a=0．利用根与系数的关系，求得m的取值进而讨论a、b的取值．解答：解：①式即( 6a+3b509)2=4a+511b509， 故设m=6a+3b509，n=4a+511b509，则b=509m-6a3=509n-4a511② ∴3n-511m+6a=0，又n=m2，所以3m2-511m+6a=0 ③ 由①式可知，（2a+b）2能被509整除，而509是质数，于是2a+b能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式△=5112-72a为完全平方数． （10分） 不妨设△=5112-72a=t2（t为自然数），则72a=5112-t2=（511+t）（511-t）． 由于511+t和511-t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况： ①511+t=36a511-t=2​两式相加，得36a+2=1022，没有整数解． ②511+t=18a511-t=4​两式相加，得18a+4=1022，没有整数解． ③511+t=12a511-t=6​两式相加，得12a+6=1022，没有整数解． ④511+t=6a511-t=12​两式相加，得6a+12=1022，没有整数解． ⑤511+t=4a511-t=18​两式相加，得4a+18=1022，解得a=25． ⑥511+t=2a511-t=36​两式相加，得2a+36=1022，解得a=493，而493=17×29不是质数，故舍去． 综合可知a=251． （20分） 此时方程③的解为m=3或m=5023（舍去）． 把a=251，m=3代入②式，得b=509×3-6×2513=7． 答：a=251，b=7．

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