已知整数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA<k^2
答案:2 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-02-22 02:54
- 提问者网友：太高姿态
- 2021-02-21 03:53
已知整数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA<k^2
最佳答案
- 五星知识达人网友：蓝房子
- 2021-02-21 04:50
解:2aB+2bC+2cA≤(a^2+B^2)/2+(b^2+C^2)/2+(c^2+A^2)/2（等号当且仅当a=b=c=A=B=C时成立）
=(a^2+A^2)/2+(b^2+B^2)/2+(c^2+C^2)/2＜(a+A)^2/2+(b+B)^2/2+(c+C)^2/2=3k^2/2＜4k^2/2=2k^2
∴2（aB+bC+cA）＜2k^2 ∴aB+bC+cA＜k^2
=(a^2+A^2)/2+(b^2+B^2)/2+(c^2+C^2)/2＜(a+A)^2/2+(b+B)^2/2+(c+C)^2/2=3k^2/2＜4k^2/2=2k^2
∴2（aB+bC+cA）＜2k^2 ∴aB+bC+cA＜k^2
全部回答
- 1楼网友：时间的尘埃
- 2021-02-21 06:21
作正三角形，令三边分别为a+a,b+b,c+c 再将三角形分成四个小三角形，面积分别为s1 s2 s3 s4，s1边长为a,b ,s2边长为b，c， s3边长 c，a。s4是中间的小三角形。由面积公式，s- s4= s1+ s2+ s3=1/2sin60°(ab+bc+ca)=1/2sin60°k＾2约掉就得证。
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