1.已知:如图1,△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC:AC=4:3,点P从点B出发,沿BC向点C以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发,沿CA向点A以1cm/s的速度移动.如果P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时△CPQ相似于△CBA?
2.如图2,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F.求证:△ABF∽△CAF.
3.如图3,△ABC为等边三角形,D,E分别是AC,BC边上的点(不在顶点),∠BDE=60°.
(1)求证:△DEC∽△BDA;(2)若AB=4,并设DC=x,BE=y,试求y与x之间的函数关系式.
4.在△ABC中,∠B=32°,AD为BC边上的高,并且有AD^2=BD·DC,求∠BCA的度数.
1、
设经过x秒后，△CPQ相似于△CBA
∵三角莆ABC是直角三角形，AB=10cm，BC:AC=4:3 ，设BC＝4y厘米，AC=3y厘米
∴由勾股定理有 10^2=(4y)^2+(3y)^2 y=2(cm) BC=8(cm) AC=6(cm)
∵△CPQ相似于△CBA
∴CP/CB=CQ/CA
∵点P从点B出发,沿BC向点C以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发,沿CA向点A以1cm/s的速度移动
∴CP=BC-BP=8-2x CQ=x
∴(8-2x)/8=x/6
∴x=2.4
∴经过2.4秒时△CPQ相似于△CBA。
2、
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵EF是AD的垂直平分线
∴直角三角形AEF≌DEF
∴∠EAF＝∠EDF
∴∠DAC+∠CAF=∠BAD+∠ABC
∴∠CAF=∠ABC
∴△ABF∽△CAF（两对应角相等，∠F公共∠CAF=∠ABC）
3、
(1)
∵△ABC为等边三角形
∴∠A＝∠C＝60°
∴∠ABD+∠ADB=180°－∠A＝120°
∵∠BDE=60°
∴∠ADB＋∠CDE＝180°－∠BDE＝180°－60°＝120°
∴∠ABD=∠CDE
∴△DEC∽△BDA（两对应角相等，∠A=∠C，∠ABD=∠CDE）
（2)
∵△DEC∽△BDA
∴AB/CD=AD/CE
∵AB=4,DC=x,BE=y
∴4/x=(4-x)/(4-y)
∴y=x^2/4-x+4
4、
∵AD^2=BD·DC
∴AD/BD=DC/DA
∵AD⊥BC
∴∠ADB＝∠CDA＝90°
∴△ADBC∽△CDA
∴∠ABD＝∠CAD＝32°
∴∠BCA＝90°－∠CAD＝90°－32°＝58°
第四题还有一种情况是个钝角三角形。证明过程大致一样，结果应该是122
① 因为是直角三角形只要满足两直角边比例为4：3即可，所以（6-t）/（8-2t）=4/3,t=14/5 s
②首先∠ADF=∠BAD+∠ABD,而EF是AD的垂直平分线，所以∠ADF=∠DAF=∠DAC+∠CAF，因为∠DAC=∠BAD，可知∠CAF=∠ABF，两三角形两角对应相等所以△ABF∽△CAF
③∠BDE==∠A=60°.，所以∠ADB+∠CDE=∠ABD+∠ADB，∠CDE=∠ABD，所以:△DEC∽△BDA
第二问：由第一问所得，知AB：AD=DC：CE，所以4*（4-y）=x*（4-x）得：16-4y=4x-x²
即：4y=x²-4x+16 （如有不明，请追问）^_^
第一题解 通过 BC平方+AC平方=100 切BC:AC=4:3
解得 BC=8cm AC=6cm
想要求得2者相似 既求 PC:CQ=4:3 或者PC:CQ=3：4
设 经过X秒 相似 既 (8-2X):（6-X）=4：3 解得X=0 不是正确解
所以 剩下一种情况 既 （8-2X）:（6-x）=3:4
解得 X=2.8