已知点F1、F2分别是双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B

已知点F1、F2分别是双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是______．

在双曲线
x2
a2 ?
y2
b2 ＝1(a＞0，b＞0)中，
令x=-c 得，y=±
b2
a ，∴A，B两点的纵坐标分别为±
b2
a ．
由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜
π
4 ，tan∠AF2F1=

b2
a
2c ＜tan
π
4 =1，
∴
c2?a2
2ac ＜1，c2-2ac-a2＜0，e2-2e-1＜0，∴1-



2 ＜e＜1+



2 ．
又 e＞1，∴1＜e＜1+



2 ，
故答案为：（1，1+



2 ）．

根据题意，可得|ab|= 2b2 a ，|f1f2|=2c， 由双曲线的对称性，可知△abf2为等腰三角形， 只要∠af2b为钝角，即|af1|＞|f1f2|即可． ∴不等式 b2 a ＞2c，化简得c2-a2＞2ac， 两边都除以a2，可得e2+2e-1＞0 解之得e∈(1+ 2 ，+∞)，负值舍去． 故答案为：(1+ 2 ，+∞)

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