过双曲线x²/a²-y²/b²=1的一个焦点F做一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ）。
（答案+解析）
高中数学：双曲线
答案:1 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-10-16 15:13
- 提问者网友：原来太熟悉了会陌生
- 2021-10-15 22:26
最佳答案
- 五星知识达人网友：梦中风几里
- 2021-05-31 13:18
F(c,0)
所以OF的垂直平分线x=c/2
设垂足是P(p,q)
则p=c/2
渐近线是y=±bx/a
假设是y=bx/a
则q=bc/(2a)
因为FP垂直y=bx/c
所以FP斜率=-c/b
FP斜率=(q-0)/(p-c)=(bc/2a)/(-c/2)=-b/a=-c/b
b²=ac
所以ac=c²-a²
c²-ac-a²=0
c=(a±a√5)/2
e=c/a>1
所以e=(1+√5)/2
所以OF的垂直平分线x=c/2
设垂足是P(p,q)
则p=c/2
渐近线是y=±bx/a
假设是y=bx/a
则q=bc/(2a)
因为FP垂直y=bx/c
所以FP斜率=-c/b
FP斜率=(q-0)/(p-c)=(bc/2a)/(-c/2)=-b/a=-c/b
b²=ac
所以ac=c²-a²
c²-ac-a²=0
c=(a±a√5)/2
e=c/a>1
所以e=(1+√5)/2
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