求不定积分：∫ √(x(1+x)/√x+√(x+1) dx

求不定积分：∫ √(x(1+x)/√x+√(x+1) dx

求不定积分：∫ √[x(1+x)]/[√x+√(x+1)] dx

解：【分母有理化】
原式=∫√[x(1+x)][√(x+1)-√x] dx=∫[(1+x)√x]dx-∫x√(1+x)dx
=∫[x^(1/2)]dx+∫[x^(3/2)]dx-(2/3)∫xd[(1+x)^(3/2)]
=(2/3)x^(3/2)+(2/5)x^(5/2)-(2/3)[x(1+x)^(3/2)-∫[(1+x)^(3/2)d(1+x)]
=(2/3)x^(3/2)+(2/5)x^(5/2)-(2/3)[x(1+x)^(3/2)-(2/5)(1+x)^(5/2)]+C
=(2/3)x^(3/2)+(2/5)x^(5/2)-(2/3)x(1+x)^(3/2)+(4/15)(1+x)^(5/2)]+C
=(2/3)x√x+(2/5)x²√x-(2/3)x(1+x)√(1+x)+(4/15)(1+x)²√(1+x)+C
=[(2/3)x+(2/5)x²]√x-[(2/3)x(1+x)-(4/15)(1+x)²]√(1+x)+C

解：上下同乘【√（x+1）-√x】原式=∫√【x（1+x）】【√（x+1）-√x】dx
=∫（x+1）√x dx-∫x√（x+1）dx
设t=√x 则x=t²；设m=√（x+1），则x=m²-1
得∫（t²+1）t dt²-∫（m²-1）m d（m²-1）
=∫2t（4）+2t² dt-∫2m（4）-2m²dm.........（由于没有四次方符号，用括号4表示，下同）
=2/5t（5）+2/3t³-2/5m（5）+2/3m³
=2/5x（5/2）+2/3x（3/2）-2/5（x+1）（5/2次方）+2/3（x+1）（2/3次方）

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