已知抛物线Y=x^2+2X和Y=-X^2+A 若有两条公切线，证明相应的两条栋且线段互相平分

已知抛物线Y=x^2+2X和Y=-X^2+A 若有两条公切线，证明相应的两条栋且线段互相平分

设在抛物线C1上的切点为P(x1,x1^2＋2x1),在抛物线C2上的切点为Q(x2,－x2^2＋a)．
首先求C1上的切线，求导得y′=2x＋2，于是y′|x=x1＝2x1＋2．
　由点斜式直线方程得y－(x1^2＋2x1)=(2x1+2)(x-x1)．
　整理得y=(2x1＋2)x－x1^2…………①
再求C2上的切线，求导得y′=－2x,y′|x=x2＝－2X2．
　切线方程为y－(-X2^2+a)=－2X2(x－X2),
　整理得y=－2X2*x＋X2^2＋a…………②
由于所求切线是C1和C2的公切线，则①与②应为一条直线，即有
　　2x1+2=－2X2,
　　－X1^2=X2^2＋a．
　消去X2得2x1^2＋2X1＋1＋a＝0，
　消去X1得2X2^2＋2X2＋1＋a＝0．
因此X1,X2满足方程2x^2＋2x＋1＋a＝0………③
因为C1和C2有两条公切线时，所以方程③有两个不等实根．
　由Δ＝4-8(1+a)＞0得a＜－1/2．
　此时由韦达定理及方程③可得X1＋X2=－1
　于是PQ中点的横坐标为－1/2，即两条公切线的中点横坐标相同，于是两条公切线段互相平分．

-----另一法----
（1）函数y=x^2＋2x的导数y′=2x＋2，曲线C1在点P（x1，x1^2＋2x1）的切线方程是
y－(x1^2＋2x1)=(2x1＋2)(x－x1)，
即y=(2x1＋2)x－x1^2．　　①
　函数y=－x2＋a的导数y′=－2x，曲线C2在点Q（x2，－x2^2＋a）的切线方程是
　　y－(－x2^2＋a)=－2x2(x－x2)，
　　即y=－2X2x＋X2^2＋a．　　　②
　　如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，所以有 x1+1= -x2与-x1^2=x2^2+a
　　　　消去x2得方程：2x1^2＋2x1＋1＋a=0．
　当判别式△=4－4×2（1＋a）=0时，即a=－1/2时，解得x1=－1/2，此时点P与Q重合．
　即当a=－1/2时，C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y=x-1/4．

（2）证明：由（1）可知，当a<－1/2时，C1和C2有两条公切线．
　 设一条公切线上切点为P（x1，y1），Q（x2，y2），其中P在C1上，Q在C2上，则有：
x1+x2= -1
y1+y2=x1^2+2x1+(-x2^2+a)=x1^2+2x1-(x1+1)^2+a= -1+a
线段PQ的中点坐标为[-1/2,(-1+a)/2]
同理，另一条公切线段P'Q'的中点坐标也是[-1/2,(-1+a)/2]
　所以，公切线段PQ和P′Q′互相平分．

函数y=x²+2x的导数y′=2x+2， 曲线c₁在点p（x₁，x₁²+2x₁）的切线方程是： y-（x₁²+2x₁）=（2x₁+2）（x-x₁）， 即y=（2x₁+2）x-x₁²① 函数y=-x²+a的导数y′=-2x， 曲线c₂在点q（x₂，-x₂²+a）的切线方程是 即y-（-x₂²+a）=-2x₂（x-x₂）． y=-2x₂x+x₂²+a．② 如果直线l是过p和q的公切线， 则①式和②式都是l的方程， x₁+1=-x₂，所以-x₁²=x₂²+a． 消去x₂得方程2x₁²+2x₂+1+a=0． 若判别式△=4-4×2（1+a）=0时， 即a=-1/2 时解得x₁=-1/2 ，此时点p与q重合． 即当a=-1/2 时c₁和c₂有且仅有一条公切线， 由①得公切线方程为y=x- 1/4．

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