设fx在(-∞, ∞)内连续,且x趋于无穷大时fx趋向于正无穷,证明fx必有最小值

设fx在(-∞, ∞)内连续,且x趋于无穷大时fx趋向于正无穷,证明fx必有最小值

x→∞是，函数极限为+∞的定义：
设函数f（x）在|x|＞M处有定义，如果对于任意给定的正数Z，总存在正数ε（ε≥M），使得不等式|x|＞ε成立的x对于的f（x）都能使得f（x）＞Z成立，则称lim（x→∞）f（x）=+∞
现在证明：
f（x）在（-∞，+∞）上连续，所以f（x）在（-∞，+∞）上都有定义。所以f（0）也有定义，
因为正数Z是任意选的，所以现在选一正数Z＞f（0），根据定义，总能找到一个正数ε，使得当|x|＞ε成立时，即-ε＜x＜ε时，f（x）＞Z都成立。
而f（x）在闭区间[-ε，ε]上连续，所以必然在闭区间[-ε，ε]有最小值m，且m≤f（0）
而在区间（-∞，-ε）和（-ε，+∞）中，f（x）＞Z＞f（0）≥m
所以m就是f（x）在（-∞，+∞）上的最小值。

希望可以帮到你

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