已知P为等边三角形ABC中AC边上一动点向终点C运动,Q是CB延长线上一动点,同时以相同速度向延长线方向运动

已知P为等边三角形ABC中AC边上一动点向终点C运动,Q是CB延长线上一动点,同时以相同速度向延长线方向运动

解：(1)已知如题所述。
∵∠PQC=30°,又∠ACB=60°∴∠CPQ=180-∠C-∠PQC=180°-60°-30°=90°.
又由于动点P与动点Q的移动速度相同，故在相同的时间内, 移动的距离相等。假定P点从A点，Q点从B点开始，按题设要求移动，则，AP=QB.
当∠PQC=30°时,在Rt△CPQ中，PC=CQsin∠∠CQP =(CB+BQ)sin30°.
AC-AP=(1/2)(CB+BQ).
2*(6-AP)=CB+BQ,
12-2AP=6+AP.
3AP=6.
∴AP=2. ----答(1).
(2) 在按移动过程中DE的长度要发生变化。因为当P移到终点C附近时，Q点仍在CB的延长线上，其长度BQ几乎等于CB,此时P，Q两点几乎在一条直线上,DE几乎不存在了。

实际上，由于这道题P,Q的起点没有定义，所以
（1）PA=6-1/2QC，然后不能确定
（2）DE的长度发生变化，原因由于这道题P,Q的起点没有定义
如果P的起点定义为A，Q的起点定义为B,即AP=BQ
则有
（1）
∵∠PQC=30°,又∠ACB=60°∴∠CPQ=90°
典型的30-60-90°三角形
即QC=2PC
即QB+6=2*(6-AP)，因QB=AP
解得：PA=2
（2）
过P作BC平行线交AB于F
即有△APE≌△FPE
∴AE=EF
又
FP=AP=BQ
∵PF∥BC
∴∠FPD=∠BQD,∠DFP=∠DBQ
∴△FPD≌△BQD
∴BD=DF
∴DE=DF+FE=AE+BD
又DF+FE+AE+BD=AB=6
∴DE=3

：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=
12
QC，即6-x=
12
（6+x），解得x=2；
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，
∠A=∠FBQAP=BQ∠AEP=∠BFQ​
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=
12
EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=
12
AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

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