证明∫(a,b)f(x)dx≤1/2(b-a)[f(a)+f(b)]

证明∫(a,b)f(x)dx≤1/2(b-a)[f(a)+f(b)]

因题干条件不完整，不能正常作答。

本题要证明：1/(b-a)∫[a--->b] f(x)dx≤(1/(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx)^½ 两边平方，即应证：1/(b-a)²(∫[a--->b] f(x)dx)²≤1/(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx 即：(∫[a--->b] f(x)dx)²≤(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx 由于：b-a=∫[a--->b] 1dx，因此该不等式其实是柯西-许瓦兹不等式的特例。 下面是该不等式的一个经典证法： 构造函数g(t)=t²∫[a--->b]f²(x)dx+2t∫[a--->b] f(x)dx+(b-a) 由于定积分的结果为常数，因此该函数是一个二次函数 又g(t)=t²∫[a--->b]f²(x)dx+2t∫[a--->b] f(x)dx+∫[a--->b] 1dx =∫[a--->b] (t²f²(x)+2tf(x)+1) dx 注意到被积函数是一个完全平方 =∫[a--->b] (tf(x)+1)² dx ≥0 由于二次函数恒大于等于0，因此其判别式δ≤0 得：[2∫[a--->b] f(x)dx]²-4(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx≤0 整理后即为：(∫[a--->b] f(x)dx)²≤(b-a)∫[a--->b]f²(x)dx 因此原不等式得证。

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