为什么函数在某点的极限与函数在该点的函数值无关？

为什么函数在某点的极限与函数在该点的函数值无关？

这个问题在于这个函数在这一点连续是否，一个连续函数在其连续区间内任何一点的极限都是与其函数值相等的；对于一个函数在这一点不连续时，这一点作为间断点，可以不等于函数在这一点的函数值，也就是说，函数在这一点的极限值是由这一点的左右的函数值来确定的，是一种趋势。
如果把这一点看做是一个局部，这一点附近的函数值可以作为一个整体来考虑，局部大都是符合整体滴，但是但函数在这一点间断时，这个局部就不符合整体了。

对任意 ε>0，取η=ε>0，当 |x-x0|<η 时，有 　　|sinx-sinx0| = 2|sin[(x-x0)/2]|*|cos[(x+x0)/2| 　　　　　　　 ≦2|sin[(x-x0)/2]| 　　　　　　　 ≦2|(x-x0)/2| 　　　　　 　　= |x-x0| <η < ε， 据定义得知函数 lim(x→x0)sinx = sinx0。

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