求两条渐近线为x+2y=0,,x-2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为(8根号3)/3的双曲线方程。

谢谢，把过程写详细的。

设所求双曲线方程为 x^2-4y^2=k ，
将 y=x-3 代入得 x^2-4(x-3)^2=k ，
化简得 3x^2-24x+k+36=0 ，
设直线与双曲线交于 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2= 8 ，x1*x2=(k+36)/3 ，
因此由 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=2*(x2-x1)^2=2*[(x1+x2)^2-4x1*x2]=2*[64-4(k+36)/3]=64/3
得 k=4 ，
所以所求双曲线方程为 x^2/4-y^2=1 。

解：由于渐近线方程为 y=±（b/a)x=±(1/2)x，故可设双 曲线参数: b=k,a=2k,(k>0）于是可设双曲线方程为(设焦点在x轴上）： x²/4k²-y²/k²=1,即 x²-4y²=4k².............(1） 将直线方程 y=x-3代入（1）式，得 x²-4(x-3)²=-3x²+24x-36=4k²,即 3x²-24x+36+4k²=0 设直线与双曲线的两个交点a、b的坐标为（x1,y1)和(x2,y2) 于是按维达定理，有 x1+x2=8 x1*x2=(36+4k²)/3 y1+y2=(x1-3)+(x2-3)=(x1+x2)-6=8-6=2 y1*y2=(x1-3)(x2-3)=x1*x2-3(x1+x2)+9 =(36+4k²)/3-24+9=(36+4k²)/3-15=(4k²-9)/3 故弦长│ab│=√[(x1+x2)²+(y1+y2)²-4(x1*x2+y1*y2)] =√{64+4-4[(36+4k²)/3+(4k²-9)/3]} =√[(96-32k²)/3]=8(√3)/3 解之得 k=1 代入（1）式，得双曲线方程 x²-4y²=4,即 x²/4-y²=1为所求. 若焦点在y轴上，则可设双曲线方程为 y²/4k²-x²/k²=1 后面的步骤同上

解：由于渐近线方程为 y=±（b/a)x=±(1/2)x，故可设双 曲线参数: b=k,a=2k,(k>0）于是可设双曲线方程为(设焦点在x轴上）： x??/4k??-y??/k??=1,即 x??-4y??=4k??.............(1） 将直线方程 y=x-3代入（1）式，得 x??-4(x-3)??=-3x??+24x-36=4k??,即 3x??-24x+36+4k??=0 设直线与双曲线的两个交点A、B的坐标为（x1,y1)和(x2,y2) 于是按维达定理，有 x1+x2=8 x1*x2=(36+4k??)/3 y1+y2=(x1-3)+(x2-3)=(x1+x2)-6=8-6=2 y1*y2=(x1-3)(x2-3)=x1*x2-3(x1+x2)+9 =(36+4k??)/3-24+9=(36+4k??)/3-15=(4k??-9)/3 故弦长│AB│=√[(x1+x2)??+(y1+y2)??-4(x1*x2+y1*y2)] =√{64+4-4[(36+4k??)/3+(4k??-9)/3]} =√[(96-32k??)/3]=8(√3)/3 解之得 k=1 代入（1）式，得双曲线方程 x??-4y??=4,即 x??/4-y??=1为所求. 若焦点在y轴上，则可设双曲线方程为 y??/4k??-x??/k??=1 后面的步骤同上

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