你对两个相邻的斐波那契数的比值有什么发现？

你对两个相邻的斐波那契数的比值有什么发现？

黄金比例

后一个数是前两个数的和。繁分数分母总是大于1，所以的值总是小于1 而分子总是取先前的分母，除了第一次分子分母均是1时，值等于1/2，后来的值均大于1/2 而每次计算繁分数时，繁分数分母中的分母总是不变，分子总是先前分子与分母之和 这就完全符合斐波那契数列的展开规律 那么这个最简单的无穷连分数的值是多少呢？ 也就是斐波那契数列连续两项之比的极限是多少呢？ 设：x=1/(1+1/(1+1/(1+...))) 显然有：x=1/(1+x) 即：x^2+x-1=0 x=(√5-1)/2=0.618...(舍去负值) 这就是黄金分割比例，也是斐波那契数列连续两项之比的极限 这就是楼主所说的：“越来越接近黄金比例”的原因。 所谓“随n的增加，两数之间的差距越来越小”，其实就是越来越接近极限嘛。 那为什么“任意两数不断相加”都这样呢？ 黄金分割比例其实是个中外比的问题： 所谓中外比，就是分已知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。 如果把较长的一段设为x，则较短的一段为1-x 所以，x^2=1*(1-x) 【其中“1”表示全线段】 即：x^2+x-1=0，与上面解最简单的无穷连分数的方程完全一致 注意这里的全线段用1来表示，这就是说求黄金分割比例与线段的实际长度无关 同样道理，对于斐波那契数列的展开，如果考察的是前后两项的比例 那么，从哪两个数开始相加，就是无所谓的了 因为总是两个数中的大数与两数和之比，这与黄金分割的中外比完全是一个意思 况且除了第一个比值还不是与“和”比之外，其他所有比值总是在0.5和1之间 如果开始的两个数不相同，那么：m,n,m+n,m+2n,2m+3n,3m+5n,... 可见还是按斐波那契数列规律在展开，当然这是大致理解，严格的证明要看相关资料 再想想看，如果斐波那契数列最开始两个数是1和2呢？不同了吧。 还不是一样展开，除少了第一项外，其他并没有什么不同。 如果开始的两个数相同，那么：m,m,2m,3m,...其实就是斐波那契数列， 只是每个数差个m倍而已，完全不影响连续两项之比的值。而且从第3项开始，a前的系数恰好构成斐波那契数列； 从第2项开始，b前的系数恰好构成斐波那契数列； 于是，由斐波那契数列通项公式有： 第n个数a前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-2） - [(1-√5)/2]^（n-2）} 第n个数b前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-1） - [(1-√5)/2]^（n-1）} 所以第n个数（n≥3）为： (1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-2） - [(1-√5)/2]^（n-2）}*a+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-1） - [(1-√5)/2]^（n-1）}*b。

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