已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=A.0B.-4C.-

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=A.0B.-4C.-8D.-16

B解析分析：先利用函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，得到函数y=f（x）是奇函数，然后求出f（3）=0，最后利用函数的周期性求f（2012）的值．解答：因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）是奇函数，
令x=-3得，f（-3+6）+f（-3）=2f（3），即f（3）-f（3）=2f（3），解得f（3）=0．
所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=-f（x），
所以f（x+12）=f（x），即函数的周期是12．
所以f（2012）=f（12×168-4）=f（-4）=-f（4）=-4．
故选B．点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性和周期性的定义和性质．

这下我知道了

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