实分析怎么样

实分析怎么样

终于考完了实分析，来写一下读这本书感受吧。 我所学的是给大三学生开设的“测度与积分”，一共有两本参考书，一本是Royden这本Real Analysis, 是主要的参考书。另一本是Rudin的Real and Complex Analysis, 只作为Borel测度部分的参考。另一本大家所说的经典——Folland的Real Analysis至今没能读到，希望以后能有机会补上。 近来看到这本书出了第四版，不知道有多大改动，我所用的还是这第三版。 这本书的整体线路是相对传统的——在一些术语和集论、实数理论介绍之后，紧接着就是1维Lebesgue测度的理论，也就是所谓的“实变函数论”的主要部分。个人觉得在这一部分最精彩的是积分与微分一章，这也许跟我的之前的知识体系有关。 之后进入了抽象空间的讨论。因为只是一个学期的课，这部分并没有读完，很多部分事实上在之前的分析课程和拓扑课中都接触了。Baire纲性、Arzela-Ascoli定理算是以前没有系统训练过的，在这里都补上了。 第三部分是抽象积分理论。就我所读过的部分，Royden把在抽象的测度与积分系统重新构建了一遍，然后当然有漂亮的Radon-Nikodym定理和Lp空间理论。之后的“测度与外测度”是将一维中构建Lebesgue测度的方法进行推广，就是所谓的Caratheodory扩张定理。利用这个定理，Fubini定理和Lebesgue-Stieltjes积分都是自然的推论。“测度与拓扑”一章我并没有仔细读，文爷爷在这里就转入Rudin了~“不变测度”是这本书末尾几个Topic中的一个，表示论、动力系统中都有很大作用，Royden这个题目选得确实很好。可惜的这一部分是后面越讲越不详细，到了微分同胚部分居然还出了印刷Bug，很是遗憾。 总体来说，对于我们数学系的知识体系，我更倾向于另外一种安排——也是我的数学分析老师所一直提倡的——在数学分析的第一个学期着重把实数理论建立好，并且把1维的Riemann积分完成。进入多元部分的时候就从一般的拓扑空间和度量空间引入，讲完微分后，多元函数积分学就可以直接讲述一般的n维Lebesgue测度（Baby Rudin就是这么做的，其他很好的书是周民强的《实变函数论》的前几章，以及很快即将出版的陈天权老师的《数学分析讲义》的后几卷）。这样对于后面的积分极限换序、Fourier分析都有很大的方便。当然Riemann积分在条件收敛的广义积分还有它的作用，也不能完全抛弃。这样，在后面进行实分析的课的时候，就可以直接从抽象的积分入手（例如Rudin的Real and Complex Analysis）而把Lebesgue测度的存在性作为测度和拓扑联系（Riesz表示定理）的一个推论。 最后我不能不夸一下Rudin的这本Real and Complex Analysis。不论从材料的选择、陈述的方式、符号的使用还是排版的样式来说，我都更加推荐Rudin这本书作为实分析的教材——前提是先学完实数上的n维Lebesgue测度理论。

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