直线L的倾斜角60度,AF=2FB求椭圆C的离心率

直线L的倾斜角60度,AF=2FB求椭圆C的离心率

设A(x1,y1),B(x2,y2),直线L的方程为y=√3(x+c),将直线方程代入椭圆中得到
（b^2+3a^2）x^2+6ca^2+3(ac)^2-(ab)^2=0
△=b^2-4ac=(6ca^2)^2-4（b^2+3a^2）(3(ac)^2-(ab)^2)=4ab^2
则根据公式可以表示出x1,x2=(-3ca^2±2ab^2)/(b^2+3a^2).

再由AF=2FB知A,B的横坐标满足x1-(-c)=2(-c-x2). 即x1+2x2=-3c
将x1,x2代入上式中得3cb^2=2ab^2 得e=2/3

解：(1)设a(x1,y1),b(x2,y2) 直线l的方程为y=√3(x-c),将直线方程代入椭圆中得到 （b^2+3a^2）x^2-6ca^2x+3(ac)^2-(ab)^2=0 ∵√△=√（b^2-4ac）=√[(6ca^2)^2-4（b^2+3a^2）(3(ac)^2-(ab)^2)]=4ab^2 ∴x1=(3ca^2－2ab^2)/(b^2+3a^2) x2=(3ca^2＋2ab^2)/(b^2+3a^2) ∵af=2fb ∴c-x1=2(x2-c) 即x1+2x2=3c 将x1,x2代入上式中得3cb^2=2ab^2 得e=2/3 (2)∵bc=abcos60°=0.5ab=15/8. bc=x1-x2=15/8 由（1）知道了x1,x2.直接代入得到4ab^2/(b^2+3a^2)=15/8 化简得到32ab^2=15b^2+45a^2 将b^2=a^2-c^2 得 32a(a^2-c^2)=15(a^2-c^2)+45a^2 由离心率e=c/a=2/3知 c=2a/3.代入其中得到a=3 ∴c=2, b^2=5 ∴椭圆方程为x^2/9+y^2/5=1 真是抱歉 刚才那道改了提交了很久都没改到 望采纳 极坐标法，可以欣赏哈 （1）ρ=ep/(1-ecosθ) (0＜e＜1,p为焦点到准线的距离) ep/(1-ecos60°)=2ep/(1-ecos240°) e=2/3 (2)ep/(1-ecos60°)+ep/(1-ecos240°)=15/4 e=c/a=2/3 p=b^2/c=(a^2-c^2)/c=5/2 a^2=9 c^2=4 b^2=5 方程即为x^2/9+y^2/5=1

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