如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O。求四边形AECF是菱形

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O。求四边形AECF是菱形

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）

∴∠AEF=∠CFE（两直线平行，内错角相等）

∵EF垂直平分对角线AC

∴AO=CO，EF⊥AC（线段垂直平分线的定义）

∵AO=CO，EF⊥AC，∠AEF=∠CFE

∴△AOE≌△COF（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）

∴OF=OE

∵EF⊥AC，OF=OE，AO=CO

∴四边形AECF是菱形（四边形对角线相互垂直、平分是菱形）

判定一个四边形是菱形，可以从边、角、对角线入手先证它是平行四边形，再证它是菱形或者证四条边相等而直接证得菱形。要根据题目所给的条件灵活选择证题方向，如可以证明两条对角线互相垂直平分来证明它是菱形，或证明一组对边平行且相等，且有一组邻边相等等。在用对角线垂直判定四边形是菱形时，一定要先证明该四边形是平行四边形，即要在条件充分的情况下，才能下结论。

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