已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得h（x）=m?f（x）+n?g（x），则称h（x）为f（

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得h（x）=m?f（x）+n?g（x），则称h（x）为f（x）、g（x）在R上生成的函数．若f（x）=2cos 2 x-1，g（x）=sinx．（1）判断函数y=cosx是否为f（x）、g（x）在R上生成的函数，并说明理由；（2）记l（x）为f（x）、g（x）在R上生成的一个函数，若 l( π 6 )=2 ，且l（x）的最大值为4，求l（x）．

（1）函数y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函数．
理由：假设函数y=cosx是f（x）、g（x）在R上生成的函数，
则存在实数m、n使得cosx=m（2cos 2 x-1）+nsinx
令x=0，得1=m+0①
令x=π，得-1=m②
由①②矛盾知：函数y=cosx不是f（x）、g（x）在R上生成的函数
（2）设l（x）=a（2cos 2 x-1）+bsinx（a，b∈R）
则 l(
π
6 )=
1
2 a+
1
2 b=2 ，∴a+b=4，∴l（x）=-2asin 2 x+（4-a）sinx+a
设t=sinx，则函数l（x）可化为：y=-2at 2 +（4-a）t+a，t∈[-1，1]
当a=0时，函数化为：y=4t，t∈[-1，1]
∵当t=1时，y max =4∴l（x）=4sinx，符合题意
当a＞0时，函数化为： y=-2a(t-
4-a
4a ) 2 +a+
(4-a) 2
8a
当
4-a
4a ≥1 时，即 0＜a≤
4
5 时
∵当t=1时，y max =4-2a
∴由4-2a=4得a=0，不符合a＞0舍去
当 -1＜
4-a
4a ＜1 时，即 a＞
4
5 或 a＜-
4
3 （舍去）时
∵当 t=
4-a
4a 时， y max =a+
(4-a) 2
8a
∴由 y max =a+
(4-a) 2
8a =4 ，得a=4或 a=
4
9 （舍去）
∴b=0∴l（x）=4（2cos 2 x-1），符合题意
当
4-a
4a ≤-1 时，即 -
4
3 ≤a＜0 时，不符合a＞0舍去
当a＜0时，函数 y=-2a(t-
4-a
4a ) 2 +a+
(4-a) 2
8a 的对称轴 t=
4-a
4a ＜0
∵当t=1时，y max =4-2a
∴由y max =4-2a=4得a=0，不符合a＜0舍去
综上所述，l（x）=4sinx或l（x）=4（2cos 2 x-1）

f

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