1/(n+1)<ln(n+1)-lnn<1/n
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解决时间 2021-02-08 05:11
- 提问者网友：嗝是迷路的屁
- 2021-02-07 11:06
证明1/（n+1)<ln((n+1)/n)<1/n
最佳答案
- 五星知识达人网友：夜余生
- 2021-02-07 12:44
构造函数f(x)=ln(1+t)-t, g(t)=ln(1+t)-t/(1+t), t>0. 那么f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0 g'(t)=1/(1+t)-1/(1+t)^2=t/(1+t)^2>0 因此当t>0时， f(t)单调减少，g(t)单调增加。 但f(0)=0, g(0)=0,因此当t>0时， f(t)<0, g(t)>0. 现在如果x>0, t=1/x, 那么f(t)=f(1/x)=ln(1+1/x)-1/x=ln[(x+1)/x]-1/x<0--->ln[(x+1)/x]<1/x.此为右边的不等式。 g(t)=g(1/x)=ln[(x+1)/x]-(1/x)/[1+1/x]>0--->ln[(x+1)/x]>1/(x+1).此为左边的不等式。
全部回答
- 1楼网友：轻熟杀无赦
- 2021-02-07 13:10
构造函数f(x)=ln(1+t)-t, g(t)=ln(1+t)-t/(1+t), t>0.
那么f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0
g'(t)=1/(1+t)-1/(1+t)^2=t/(1+t)^2>0
因此当t>0时， f(t)单调减少，g(t)单调增加。
但f(0)=0, g(0)=0,因此当t>0时，
f(t)<0, g(t)>0.
现在如果x>0, t=1/x,
那么f(t)=f(1/x)=ln(1+1/x)-1/x=ln[(x+1)/x]-1/x<0--->ln[(x+1)/x]<1/x.此为右边的不等式。
g(t)=g(1/x)=ln[(x+1)/x]-(1/x)/[1+1/x]>0--->ln[(x+1)/x]>1/(x+1).此为左边的不等式。
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