已知以F1(-2,0)F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+√3y+4=0有且只有一个焦点则椭圆的长轴为？

已知以F1(-2,0)F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+√3y+4=0有且只有一个焦点则椭圆的长轴为？

由题知c=2,c^2=4
则b^2=a^2-c^2=a^2-4
于是可设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/(a^2-4)=1
与直线方程x+√3y+4=0联立得方程
(a^2-4)x^2+a^2*(1/3)*(x^2-8x+16)=(a^2-4)a^2
令a^2=t,则为(t-4)x^2+(1/3)*(x^2-8x+16)t-(t-4)t=0
整理得：4tx^2-8tx+(16t-3t^2-12t)=0
又a不为0（使上式成为二次函数）且仅一个交点则应有：Δ=0
于是可得t,又因为a大于b,c可得长轴
<我就不算了(*^__^*) 嘻嘻……>

∵a^2－b^2＝c^2＝4，∴a^2＝4＋b^2，∴椭圆方程可写成：x^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1。 由直线x＋√3y＋4＝0，得：x＝－4－√3y，代入上述椭圆方程中，得： （－4－√3y）^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1， ∴b^2（4＋√3y）^2＋（4＋b^2）y^2＝（4＋b^2）b^2， ∴16b^2＋8√3b^2y＋3b^2y^2＋（4＋b^2）y^2－（4＋b^2）b^2＝0， ∴4（1＋b^2）y^2＋8√3b^2y＋（12－b^2）b^2＝0。 ∵直线x＋√3y＋4＝0与椭圆x^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1只有一个交点， ∴方程4（1＋b^2）y^2＋8√3b^2y＋（12－b^2）b^2＝0的两根相等，∴它的判别式为0。 ∴（8√3b^2）^2－4［4（1＋b^2）］［（12－b^2）b^2］＝0， ∴12b^4－（1＋b^2）（12－b^2）b^2＝0。 显然，b＞0，∴12b^2－（1＋b^2）（12－b^2）＝0， 12b^2－12＋b^2－12b^2＋b^4＝0， ∴b^4＋b^2－12＝0， ∴（b^2＋4）（b^2－3）＝0， ∴b^2＝3，进而得：a^2＝4＋b^2＝4＋3＝7， ∴a＝√7， ∴2a＝2√7。 即：满足条件的椭圆长轴长为2√7。

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