u(1)>-6,u(n+1)=根号下6+u(n)试证明n趋于无穷时u(n)存在，并求此极限

u(1)>-6,u(n+1)=根号下6+u(n)试证明n趋于无穷时u(n)存在，并求此极限

设√(6+x)=x,平方得6+x=x^2,x^2-x-6=0,解得x=3或-2.
∴u1>3时u2<u1,
u<n+1>=√[6+u<n>],①
u<n+2>=√[6+u<n+1>],②
②-①，u<n+2>-u<n+1>=√[6+u<n+1>]-√[6+u<n>]
=[u<n+1>-u<n>]/{√[6+u<n+1>]+√[6+u<n>]},
数列{u<n>}是减数列，有下界0；
u1=3时u2=3,……u<n>=3
-6<u1<3时u2>u1,数列{u<n>}是增数列，有上界3.
∴数列{u<n>}有极限，易知为3.

证：分类讨论。如果u(1)<3，下证对于所有的n>=2均有u(n)<3： 对n用数学归纳法，n=2时，u(n)=根号（6+-6)=0 满足条件。 如果n=k时u(k)<3，则u(k+1)<根号(3+6)即u(k+1)<3满足条件。 从而，对于所有的n>=2均有u(n)<3。而此时有u(n+1)=根号(6+u(n))>u(n)，即u(n)是一个单调递增的序列。 如果u(1)>=3，则同理可证u(n)是单调递减的。 当u(1)<3时，u(n)有上界3；当u(1)>=3时，u(n)有下界3。 从而根据单调有界原理，u(n)极限必存在。 递推式两边同时取极限，设limu(n)=a，则有：a^2-a-6=0，解得a=3，即u(n)的极限为3。

解这类题目分三步 1、证明un是单调递增数列 2、证明un有下界 3、满足1、2两条，这就证明un极限存在，再利用limu(n+1)=limun=a 由u(n+1)=√(6+u(n))得a=√(6+a),求得a=3

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