在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b+c）（sinA+sinB-sinC）=3asinB，则C=______°

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b+c）（sinA+sinB-sinC）=3asinB，则C=______°．

由正弦定理可知（sinA+sinB+sinC）（sinA+sinB-sinC）=3sinAsinB
?（sinA+sinB） 2 -sin 2 C=3sinAsinB，
?sin 2 A+2sinAsinB+sin 2 B-sin 2 （A+B）=3sinAsinB，
?sin 2 A+sin 2 B-（sinAcosB+cosAsinB） 2 =sinAsinB，
?sin 2 A+sin 2 B-sin 2 A?cos 2 B-2sinAcosBcosAsinB-cos 2 A?sin 2 B=sinAsinB
?2sin 2 Asin 2 B-2sinAcosBsinBcosA=sinAsinB，
?cosAcosB-sinAsinB=-
1
2 ，
∴cos（A+B）=-
1
2 ，
∴A+B=
2π
3 ，
所以C=π-（A+B）=
π
3
故答案为：
π
3 ．

(sina+sinb+sinc)(sina+sinb-sinc)=3sinasinb (sina+sinb)²-sin²c=3sinasinb sin²a+2sinasinb+sin²b-sin²(a+b)=3sinasinb sin²a+sin²b-(sinacosb+cosasinb)²=sinasinb sin²a+sin²b-sin²acos²b-2sinacosbcosasinb-cos²asin²b=sinasinb 2sin²asin²b-2sinacosbsinbcosa=sinasinb cosacosb-sinasinb=-1/2 cos(a+b)=-1/2 a+b=2π/3 所以c=π-(a+b)=π/3 s三角形abc=1/2absinc 1/2ab×sin(π/3)=10√3 ab=40(1) 根据题意 a+b+c=20则a+b=20-c 余弦定理 c²=a²+b²-2abcosc c²=a²+b²+2ab-3ab c²=(a+b)²-3ab c²=(20-c)²-120 c²=400-40c+c²-120 40c=280 c=7

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