求微分方程xy'+y=lnx/x,x=1时y的值为1/2的特解
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解决时间 2021-03-10 10:47
- 提问者网友：留有余香
- 2021-03-10 00:13
求微分方程xy'+y=lnx/x,x=1时y的值为1/2的特解
最佳答案
- 五星知识达人网友：山河有幸埋战骨
- 2021-03-10 01:15
y'+1/x*y=lnx/x^2
y'+1/x* y=0的通解为：y=Ce^(-lnx)=C/x
由∫lnx/x^2 e^(lnx)dx=∫ lnx/x dx=∫lnx(dlnx)= 1/2*(lnx)^2
因此原方程的通解为：y=1/x*[C+1/2* (lnx)^2]
x=1时，y（1）=1/2=C,
所以特解为：y=[1+(lnx)^2]/(2x)
y'+1/x* y=0的通解为：y=Ce^(-lnx)=C/x
由∫lnx/x^2 e^(lnx)dx=∫ lnx/x dx=∫lnx(dlnx)= 1/2*(lnx)^2
因此原方程的通解为：y=1/x*[C+1/2* (lnx)^2]
x=1时，y（1）=1/2=C,
所以特解为：y=[1+(lnx)^2]/(2x)
全部回答
- 1楼网友：痴妹与他
- 2021-03-10 02:11
该方程为一阶线性微分方程
y′+
1
xlnx y＝
lnx+1
lnx
因此，p(x)＝
1
xlnx ，q(x)＝
lnx+1
lnx ．
代入一阶线性微分方程的求解公式，有
y＝e?∫
1
xlnx dx(∫
lnx+1
lnx e∫
1
xlnx dxdx+c)
=
1
lnx (∫
lnx+1
lnx ?lnxdx+c)
=
1
lnx (∫( lnx+1 )dx+c)
=
1
lnx (xlnx+c)
所以，原方程的通解为
y＝
1
lnx (xlnx+c)＝x+
c
lnx
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