定积分的简单性质有哪些

定积分的简单性质有哪些

原发布者:ecionaeli

§9.4定积分的性质一、基本性质二、积分中值定理一、基本性质对定积分的补充规定:（1）当ab时，f(x)dx0；ab（2）当ab时，f(x)dxf(x)dx.abba说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．性质1证bakf(x)dxkaf(x)dxni1bb(k为常数).kf(x)dxlim0kf(i)xiaTlimkf(i)xiT0bnklimf(i)xiT0i1ni1kaf(x)dx.性质2证a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx.bbbba[f(x)g(x)]dxnlim[f(i)g(i)]xi0limf(i)xilimg(i)xi0i1bi1nn0i1af(x)dxag(x)dx.b（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质3b假设acbcbaf(x)dxaf(x)dxc例若abc,f(x)dx.补充：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxbcc则af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxbccaf(x)dxcf(x)dx.cb（定积分对于积分区间具有可加性）性质4a1dxababbdxba.性质5如果在区间[a,b]上f(x)0，则f(x)dx0.(ab)证f(x)0,f(i)0,(i1,2,,n)xi0,nmax{x1,x2,,xnbf(i)xi0,i

性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx 性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx 性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a 性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b) 性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a) (a<b) 性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得f(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a) (a<=c<=b)成立。

“定积分”的简单性质有： 性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。 性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。 性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。 性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。 性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a)  (a<b)。 性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得f(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a)  (a<=c<=b)成立。 定积分： 数学定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分. 记作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]， 这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 几何定义：可以理解为在 Oxy坐标平面上，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

奇函数在对称区间上的定积分为零 偶函数在对称区间上的定积分为其一半区间的两倍。 上述性质简称为偶倍奇零。

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