已知在RT△ABC中,AB=BC；在RT△ADE中,AD=DE；连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM。

已知在RT△ABC中,AB=BC；在RT△ADE中,AD=DE；连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM。

1、若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（1），求证BM=DM且BM垂直与DM；

2、如果将图（1）中的三角形ADE绕点A逆时针旋转小于45度的角，如图（2），那么图（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。

(1)RT△EBC和RT△ADE中,DM和BM都等于斜边EC的一半。∴BM=DM

且∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCE+2∠ECD=90度。

(2)结论是否仍成立

如图，过D点作DN垂直AC于N，过E点作EF垂直AC于F，作EH垂直BC于H，作EP垂直AB于P，

其他的一些次要连线见图中。

首先由（1）知MH=MF（这是三角形全等的第1个条件）

∵EF⊥AF，ED⊥AD，EP⊥AB，所以A,F,D,E,P都在AE为直径的圆O上，

所以∠EFD=∠EAD =45°，所以∠DFN＝∠EFN- ∠EFD=90°-45°=45°，

而MF=MH=MC，∴∠CFM=∠FCM, ∴∠BHM=∠BCM=∠DFM（这是三角形全等的第2个条件）,

又由旋转知：∠DAF＝∠EAG，它们同时为圆O的圆周角，∴它们所对弦DF= EP

因为BHED是矩形，∴EP=HB, DF=HB（这是三角形全等的第3个条件）

因此△BHM≌△DFM ∴∠BHM=∠BCM=∠DFM，

所以DM=BM, ∠BMH=∠DMF

由（1）我们知MH⊥MF，类似于旋转的思路知：∠BMD=90°。

OVER!

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