微分方程应用题，小船从河边点o出发开向对岸，设船速为a.船航行方向始...

微分方程应用题，小船从河边点o出发开向对岸，设船速为a.船航行方向始...

dx/dt=k*(h-at)
dx=k(h-at)dt
x=kht-(1/2)akt^2+C0
t=0,C0=0
x=kht-(1/2)akt^2
y=at
x=kh*(y/a)-(1/2)ak(y^2/a^2)
抛物线

设在t时刻船沿垂直河岸的位移为x,沿平行于河岸方向的位移为y,船在t=0时刻启航。
则x=at
在t时刻船所在位置的水流速为v=kx(h-x)
则从t到t+dt时刻的位移为 dy=v·dt=kx(h-x)·dt
=kx(h-x)·(dt/dx)·dx
=kx(h-x)·(1/a)·dx
=(k/a)x(h-x)·dx
两边积分得
y=( (kh)/(2a) )x² - ( k/(3a) )x³ +C
初始条件为y(0)=0,故C=0
因此小船的航行路线为 y=( (kh)/(2a) )x² - ( k/(3a) )x³

解：如图，曲线为小船的轨迹
设小船从O点出发，当小船移动到如图位置的时候：
因为关系式dy/dx=切线的斜率，而斜率就是合速度的斜率
所以，通过水流速度v水=ky(h-y),小船速度=a，则合速度的斜率=小船速度/水流速度=a/(ky(h-y))
所以轨迹方程为dy/dx=a/(ky(h-y))
因为这个微分方程不好解，故取倒数dx/dy=ky(h-y)/a
解微分方程得x=(k(3h - 2y)y^2)/(6a)

所以轨迹方程为 k(3h-2y)y^2-6ax=0

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